1.求最大公约数 （欧几里德算法和扩展欧几里德算法）

欧几里德算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有

d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：

void swap(int & a, int & b)
{
    int c = a;
    a = b;
    b = c;
}

int gcd(int a,int b)
{
    if(0 == a )
       return b;
    if( 0 == b)
       return a;
    if(a > b)
       swap(a,b);
    int c;
    for(c = a % b ; c > 0   ; c = a % b)
    {
       a = b;
       b = c;
    }
    return b;
}

2、Stein算法

欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，他无论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。

考虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位，对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。

为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：

gcd(a,a) = a，也就是一个数和他自身的公约数是其自身

gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除

int gcd(int a,int b)
{
    if(a<b)
    {
        int temp = a;
        a = b;
        b=temp;
    }
    if(0==b)
        return a;
    if(a%2==0 && b%2 ==0
        return 2*gcd(a/2,b/2);
    if ( a%2 == 0)
        return gcd(a/2,b);
    if ( b%2==0 )
        return gcd(a,b/2);
    return gcd((a+b)/2,(a-b)/2);
}

小结

int gcd(int x,int y)//最大公约数
{
    int r;
    x>y?r=y:r=x;
    for ( ; x%r!=0 || y%r!=0; r--);
        return r;
}

int gcd(int a, int b)//函数递归求最大公约数
{
    if(b!=0)
        return gcd(b, a%b);
    return a;
}

int gcm(int x,int y)//最小公倍数
{
    return x*y/gcd(x,y);
}